lunes, 27 de mayo de 2013

Triángulo de Sierpinski

 

 
El matemático Waclaw Sierpinski, fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales (introdujo el que analizaremos  en 1919), hoy nos centraremos en una de las más conocidas.

   


El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar (propiedades especifica de  los fractales).

Se debe aclarar que se puede construir a partir de cualquier triángulo (para los ejemplos se utilizan triángulos equiláteros, dado que las construcciones son más bellas), y que no hay un único método para hacerlo; ya que como en la mayoría de los fractales, existen varias maneras de obtener la misma figura. 
Es por ello que explicaremos dos métodos totalmente diferentes 


  • Construcción mediante homotecias


   En este caso, todos los procesos implican las tres homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2.

  Para poder visualizar su construcción de manera más sencilla se realizo el siguiente vídeo; de esta manera es posible poder seguirlos para poder reproducir la figura 



  
Construcción por Iteración 

Partamos (iteración n=0) de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomamos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4. 







En las imágenes observamos hasta cuatro iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.


Ahora analicemos detalladamente cada uno de los pasos seguidos anteriormente para hallar una relación sumamente curiosa, para ello tomaremos como medida del lado 2a
     










CONCLUSIÓN 

Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro.


  •  Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero.


  •  En la geometría euclidiana  sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita.


  •  Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski.

Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.



Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una  curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...





Podemos hacer construcciones semejantes al triángulo de Sierpinski en 3 dimensiones con 
tetraedros








12 comentarios:

  1. Buenísima la explicación de la construcción del triángulo de Sierpinski, también la de geogebra.

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    1. Muchas gracias por tomarte el tiempo de comentar. Cariños

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  2. Hola Sabrina, me parece muy intuitiva, dinámica y metódica su metodología de enseñanza, la felicito, y deseo poder encontrar más articulos suyos, relacionados con el tema de las matemáticas, la física u otra ciencia afine.
    Gracias amiga

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    1. Yireh, gracias por tomarte el tiempo en comentar y por tus bellas palabras. Te cuento que toda mis publicaciones puedes hallarlas en este blog. Algunas son dinámicas y otras no, todo depende de las características que presente el contenido que se debe desarrollar. Saludos, y aguardo tu visita nuevamente

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  3. Sabrina felicidades por el Blog, muy interesantes los datos que aquí aparecen y como son explicados, ojalá puedan existir mas sobre otros contenidos matemáticos, ya que sería un gran aporte para nosotros los docentes y también para la formación de los mismos. Saludos de Chile te envía Pablo H.

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    1. Muchas gracias por tus palabras Pablo, amo enseñar y me parece que es necesario cambiar la metodología con la cual son explicados los contenidos (siempre que esto sea posible).
      Mi objetivo es que los aportes que realizo a través de estas paginas logren entusiasmar a muchos colegas y que ellos mismos puedan realizar sus propias producciones.
      Saludos y espero que en algún momento nuevamente recorras las publicaciones que realizo

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  4. Explicaciones muy simplificadas sobre fractales. Gracias

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  5. Me permito mostrar un codigo en lenguaje python usando recursion para generar el fractal de Triángulo de Sierpinski:

    from math import sin, cos, pi,sqrt
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib
    def triangleframe(p, n):
    x_vertex1 = 0
    y_vertex1 = 0

    x_vertex2 = p * cos(pi / 3)
    y_vertex2 = p * sin(pi / 3)

    x_vertex3 = p * cos(0)
    y_vertex3 = p * sin(0)


    Sierpinskitriangledraw(x_vertex1,y_vertex1,x_vertex2,y_vertex2,x_vertex3,y_vertex3, n)
    Sierpinskitriangledraw(x_vertex1,y_vertex1,x_vertex2,y_vertex2,x_vertex3,y_vertex3, n-1)


    return


    def Sierpinskitriangledraw(xi, yi, xm, ym, xf, yf, n):
    if n == 0:

    plt.plot([xi, xm, xf, xi], [yi, ym, yf, yi], color = 'black')

    elif n > 0:

    pmedio1x = (xi + xm)/2
    pmedio1y = (yi + ym)/2

    pmedio2x = (xm + xf)/2
    pmedio2y = (ym + yf)/2

    pmedio3x = (xf + xi)/2
    pmedio3y = (yf + yi)/2


    Sierpinskitriangledraw(xi, yi, pmedio1x, pmedio1y, pmedio3x, pmedio3y, n-1)
    Sierpinskitriangledraw(xm, ym, pmedio2x, pmedio2y, pmedio1x, pmedio1y, n-1)
    Sierpinskitriangledraw(xf, yf, pmedio3x, pmedio3y, pmedio2x, pmedio2y, n-1)


    return

    # Main program
    print 'This program draw the Sierpinski triangle fractal'
    print 'The user will be provide two parameters:'
    print ' (a) The length of line segment called p'
    print ' (b) The recursion level called n, this value will be a positive integer value'
    print
    r1 = float(raw_input('write the length of line segment: '))
    print
    n1 = abs(int(raw_input('write the recursion level: ')))
    print
    print
    plt.figure('Sierpinski Triangle') # Create a window where draw the graphic of dragon curve
    plt.suptitle('Sierpinski Triangle Fractal') # Write the title of graphic inside of window
    triangleframe(r1, n1)
    plt.show()



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